言語化

 もしもそれを上手く運用できているのなら、そして運用こそが目的なのなら、強いてそれの仕組みを言語によって説明しなくともよい。ただし説明こそが運用に深く関わっている場合には、その仕組みを1度は説明してみよ。さらに説明は記録し保存しておくと有益である。なぜなら、それの運用に行き詰まったとき、それが何かを思い出すきっかけになるからだ。さらにそれの運用の仕方が悪かったとき、それとは何かを見直し、新たな道具を生み出すことにもなるからだ。

演繹(deduction)からビッグ・ピクチュァ

  • 定義
  1. 推論:1つ以上の命題を根拠にして、別の命題を導くこと。
  2. 前提:推論において、根拠となった命題(の集合)のこと。
  3. 帰結:推論において、前提から導かれた命題(の集合)のこと。

 

  • 演繹的であるということ:ある推論について、前提を認めるならば帰結も認めざるを得ないとき、この推論は「演繹的である」という。演繹的な推論を行うことを「演繹(する)」という。あるいは証明と呼ぶ。
     ある前提も,別の命題によって演繹されることがある。またある帰結を根拠にして,別の命題を演繹することがある。したがって「ある命題が『前提』であるか『帰結』であるか」は,「行っている証明においてどの定理に注目するか」に依存する,相対的なものである。

  • 「証明を要しないほど明らかである」あるいは「証明が困難である」などの理由により,ある命題を証明しないことに決めた場合に,その命題を前提として他の命題を証明するならば,その命題は「公理」や「仮定」などと呼ばれる。
     任意の公理は仮定であるが,「公理」と呼ばれるのは,非常に膨大な数の命題を証明する体系の前提に限られるという慣習がある。
     例:ユークリッドの『原論』("Στοιχια" by Ευκλειδησ)

  • 命題の演繹的体系において,公理以外の命題を「定理」と呼ぶ。定理は,公理と,定義あるいは規則(規約)によって証明される。公理,定義規則(規約)は証明を要しないが,「自然さ」「自明さ」「納得」「妥当性」を要求されることがある。しかしそうでない場合もある。

  • 仮に演繹(正しい推論)を行なったとしても,証明された命題が事実であるとは限らない。したがって証明における命題の「真偽」は,実験的検証に依存するのではなく,あくまで推論において前提によって保証されるかどうかに依存する。つまり推論の帰結が「真」であるということは,あくまで,推論が,演繹的であるということである。

  • 数学者の仕事として完成した数学理論は,完全に演繹的な体系である。いくつかの前提と定義と規則から出発して,広大な帰結の体系が出来上がる。
     しかし数学者の作品が演繹的であるからといって,数学者の仕事が演繹的であるというわけではない。例えば個別具体的な法則を一般化する帰納の作業が重要である。
     帰納はしばしば「発見的」に行われる。また例えば幾何学における補助線の発見も「発見的」である。演繹的体系においては,演繹の過程をあらゆる人間が認め,反証が出ないことが求められ,その意味で「誰もがわかる」「誰もが理解する」普遍的なものであることが要求されるけれども,発見の過程には,個体差,すなわち「才能」「センス」であるとか,「興味」「熱中」や「長考」と呼ばれるものが関わることがある。

  • 反論が出ず,あらゆる人間が認めるからといって,直ちにその体系が数学であるというわけではない。数や計算規則による証明は,演繹的な証明と相性がよいようである。幾何学などの演繹的体系を模範にして,倫理や道徳,哲学などを演繹的に体系化しようという試みもあるが,仮に一見うまくいったように体系化を行なった人間が行なったとしても,時代,場所,個体が異なれば証明として納得が得られないということがしばしばである。数や規則に関する証明が,時代・場所・個体の違いを問わずこれまで有効であったという意味で,数学はホモ・サピエンスの身体に普遍的に共有される何らかの構造に関連しているものであるのかもしれない。

自覚

 自分が眠いのかどうか、空腹であるのかどうか、目の前の人間に抱いているのが愛情か嫌悪かそれとも興味がないのか、などがわからないようでは、とてもイデアを把握しそれについて述べることなどできない。

道具は対象を選べ

 魅力を言語で語ることに適した映画と、そうでない映画がある。"Gravity"や"Death in Venice"は前者に属するが、"Thr Godfather"や多くのブロックバスター映画、大ヒット作は後者に属する。

 同様に、それが言語で、あるいは数学で、等々、君の持っている道具で扱うことに適した対象であるかどうかについての直感的判断を尊重すること。

体系化の限界

 過剰な体系化志向、すなわち異なる2つのことがらへの連関の無理強いが、まともな思考力をうばう。論理や厳密化は決して、筋肉に緊張を強いることではない。体系化可能な対象を、うまく選べ。

率直と保身

 学究的でありながら同時に倫理的であることは難しい。なぜなら自己への誠実さや他者への率直さは保身すなわち配慮と対立するからだ。重症なのは、誠実さと保身とが混在してしまって、非難を避けることを「正しさ」と思い込むことだ。

輪郭線

 "本質的"にぼんやりと曖昧なものは、ぼんやり曖昧なまま扱うのがよい。

 時々,ぼんやりしたもの同士の繋がりが,明晰判明で厳密になることがある。

 

 輪郭線の比喩。目前にある物体を縁取る黒い線などない。しかし白紙に描かれた輪郭線を見れば,確かにそれがそこにあると理解させてくれる。穴があったり,ゼロの加減乗を考えたりする。そのような,言語の側面。

 輪郭線を物体が備えていないからといって白紙に描かれたそれが何かわからないというのなら,自分の認知能力が正常に機能しているのかどうかを疑うとよい。